数学分析III复习精简版.doc

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1、 内容概要第一型曲线积分（1） 被积函数是否满足曲线方程（P213 1(7)）。（2） 利用对称性; (3)利用公式：设光滑，在上连续，则，注意：下限小于上限。 可视为 ； 可视为 ； 可视为 ，此时；，也有相应的公式。相关习题：P213 EXI P222 EX1第二型曲线积分（与方向有关）(一)计算公式（1） 利用对称性。（2） 利用公式。（适用：被积函数比较简单，曲线方程比较容易写出。）设 光滑，在上连续，则， 注意下限对应起点，上限对应终点。 可视为 ； 可视为 ； 可视为 ； ，也有相应的公式。（3） 利用格林公式（平面曲线）。（作用：对降次；特别适用于是常数。） ， 其中是的边界曲线

2、，取正向(外逆内顺)；这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用格林公式计算曲线积分时，有时需要添加曲线使成为某区域的边界。（4） 利用斯托克斯公式（空间曲线）。（作用：对降次。）， 其中是的边界曲线，取右手法则；这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用斯托克斯计算曲线积分时，有时需要添加曲线使成为某区域的边界。相关习题：P213，P222EX1(5，6) P244 ex1P244 EX2(1)P254ex2(2) 面积积分 转化为第二型曲线积分P244 ex5 ex6 积分与路径无关，求原函数(二)平面曲线积分与路径无关性设是平面曲线，起点为，终点为。（1） 利用“牛-莱公式”。若存在，使得在上，

3、则。（2） 采用特殊路径，一般取折线，其中（或），即。 此时需要先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。(三)空间曲线积分与路径无关性设是空间曲线，起点为，终点为。（1） 利用“牛-莱公式”。若存在，使得在上，则。（2） 采用特殊路径，一般取折线，其中，即。此时需要先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。(四)求原函数（1） 求的原函数。 先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。固定（一般取），设动点，则原函数， 其中经常取折线，（或），故 。（2） 求的原函数。 先验证积分与路径无关，即证明，并说明是在单连通区域上。固定（一般取），设动点，则原函数，

4、 其中经常取折线，其中，故 。二重积分（第二十一章）（1） 利用对称性；（2） 利用极坐标（包括广义极坐标、极坐标平移）。适用：被积函数或积分区域中含有。 公式：设，且，则。 注意有Jacobi行列式。 又分为4种情形： （I）且是型，此时， 。（II）且是型，此时， 。（III），此时， 。（IV），此时，这里， 。 （广义极坐标中， 。）（3） 分解成型区域或型区域。若，则。若，则。（4） 利用一般变量变换。 公式：设，且，则，注意是Jacobi行列式的绝对值。（5） 利用格林公式。（适用：求区域的面积且的边界用参数形式给出。） ，其中取正向。若 可视为 ，此时，。（6） 应用：区域的面积

5、。三重积分（1） 利用对称性;（2） 利用球坐标（包括广义球坐标、球坐标平移）适用：被积函数或积分区域中含有。 公式：设 ，且，则。 注意有Jacobi行列式。 三个变量的几何意义：表示动点到原点的距离；表示轴正向到动点向量的夹角；表示轴正向到动点在面投影向量的夹角。（广义极坐标中， 。）（3） 投影到坐标轴。（适用：被积函数为常数或只跟一个变量有关，截面面积易求。）（4） 投影到坐标平面。（5） 利用一般变量变换。（6） 利用高斯公式。（7） 应用：立体的体积。第一型曲面积分（1） 被积函数是否满足曲面方程（P282 1(3)）。（2） 利用对称性。（3） 利用公式：设光滑，在上连续，则。与

6、也有相应的公式。步骤：一投：例如投影到面。写出投影区域，同时确定函数； 二换：； 三代：。（4） 参数形式：设，则，其中。第二型曲面积分（与侧有关）（1） 利用对称性。（2） 利用高斯公式。， 其中是的边界曲面，是封闭曲面，取外侧； 这里要求在上连续且有连续的偏导数。利用高斯公式计算曲面积分时，若不封闭，需添加曲面使其封闭。（3） 利用公式。设光滑，在上连续，取的上侧，则。设光滑，在上连续，取的前侧，则。设光滑，在上连续，取的右侧，则。步骤（以为例说明） 一投：写出投影区域，同时确定函数； 二代：。 三定号：确认的侧。（4） 参数形式：设，则；，其中对应的两侧，当由所确定的曲面法向量正向与所指

7、定侧的法线正向一致时，取正号；相反时，取负号。例如，对，任取，若且在的法线正向指向轴正向，则取正号。 习题精选(按章节顺序)P213第二十章第一小节练习题EX1(第一型曲线积分) Ex1（1） 计算，其中是以为顶点的三角形。解： ， 则。 Ex1（4） 计算，其中为单位圆周。 解：由对称性，其中，即，则 。 Ex1（6） 计算，其中是曲线的一段。解：。 Ex1（7） 计算，其中是与相交的圆周。 解：在上，则 。 Ex1（2） 计算，其中是原点为中心，为半径的右半圆周。解：在上，则 。 Ex1（3） 计算，其中为椭圆在第一象限中的部分。 解：，则 。 Ex1（5） 计算，其中为螺旋线的一段。解：

8、 。P222第二十章总练习题（第一型曲线积分） Ex1（1） 计算，其中是由和所围的闭曲线。解：由得交点，设，则 抛物线，直线，故 。 Ex1（2） 计算，其中为双纽线。 解：由对称性，其中。把 代入得，则，且 故 。 Ex1（3） 计算，其中为圆锥螺线。解： 。 Ex1（5）计算，是抛物线，从到的一段。 解： 。P235(第二十一章第二小节习题：二重积分) Ex3（1）计算，其中由抛物线与直线所围成的区域。解：。 Ex3（2）计算，其中。解：。 Ex3（3）计算，其中为P235图21-9中阴影部分。解：图中上边界曲线 即，故。 Ex3（4）计算，其中。解：由于 ，故 （令）。 Ex4 求由坐

9、标平面及所围柱体的体积（用二重积分表示体积）。解：设所围立体为， 在面上的投影，则 P244（第二十一章第三小节：用green公式） Ex1（1）计算，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：令，则， 。设所围成的区域为，由于，故。由格林公式， 。 （也可直接用参数方程的公式。） Ex1（2）计算，其中是为常数，为由以到经过圆上半部的路线。解：记直线，则。记，设所围成的区域为。令，则， 。 由格林公式，。故 。P244(第二十一章第三小节练习：二重积分表示面积) Ex2（1）计算由星形线：所围的平面面积。 解：记星形线为，所围成的平面图形为，则 。 Ex2（2）计算由双纽线：所围的平面面积。解

10、：设所围平面图形为，由对称性，其中为所围平面图形。把 代入得，则故。【解法二】：设所围平面图形为，由对称性，其中为在第一象限部分。把 代入得，则。 Ex5验证下列积分与路线无关，并求其值。 Ex5（1）。解：由于，则 ，故在中，积分与路径无关，且 。 Ex5（2）。解：由于，则 ，故在中，积分与路径无关，且 。 Ex5（3），沿在右半平面的路线。解：由于，则 ， 故在右半平面中，积分与路径无关，且 。 Ex5（4），沿不通过原点的路线。解：由于，则 ， 故在不包含原点的区域中，积分与路径无关，且 。 Ex5（5），其中为连续函数。解：由于，则 ， 故在中，积分与路径无关，且 。 Ex6下列全微

11、分的原函数（原函数可以用猜微分法，见课堂笔记）。 Ex6（1）。解：令，则 , ，则在单连通区域中，积分与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则 ， ，故，因此原函数。 Ex6（2）。解：令，则 ， , , ,则在单连通区域中，与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则 ， ，故，因此原函数。 Ex6（3）。解：令，则 , ，则在在不包含原点的单连通区域中，积分与路径无关。由于，则原函数，其中。注：空间曲线与路径无关性和原函数见P310ex5和ex6，下文。P254（第二十一章第四小节练习：二重积分变量变换） Ex2（1）计算，其中。 解：设，则，故 。 Ex2（2）计算，其中。 解：由

12、于，设，则，故 。 Ex2（3）计算，其中为圆域。 解：由对称性（区域对称，对称点的函数值相等），其中。设，则，故 。 Ex2（4）计算，其中为圆域。解：设，则，故 。 Ex4（1）计算，。解：设，则，且，故。 Ex4（2）计算，。解：设，则，且，故。 Ex5（2）求由曲面和所围的立体的体积。 解：由可得或。当时，平面截的截面是椭圆环，外椭圆为，内椭圆为，面积为，故 。 Ex6（1）计算由曲线：所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，则。 设，则，故且，因此。 Ex6（2）计算由曲线：所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，由对称性，,其中为在第一象限部分。把 代入得，则。 Ex6（3）计

13、算由曲线： 所围的平面图形面积。解：设所围平面图形为，由对称性，,其中为在第一象限部分。把 代入得 ，则。P254（第二十一章第四小节练习：三重积分表示体积） Ex5（1）求由曲面和所围的立体的体积。解：在面上的投影，则 设，则，故 。P235 Ex4 求由坐标平面及所围的角柱体的体积。P264(第二十一章第五小节练习：三重积分) Ex1（1） 求由坐标平面及所围的角柱体的体积。解：设所围立体为，在面上的投影，则。计算，其中。 解：。 Ex1（2）计算，其中。 解：。 Ex1（3）计算，其中是由与三个坐标面所围成的区域。 解：在面上的投影，则 。 Ex1（4）计算，其中是由及所围成的区域。 解

14、：在面上的投影，则 。 Ex3（1）计算，其中由和所围成的区域。 解：由可得。当时，平面截的截面是圆；当时，平面截的截面是圆，则 。 Ex3（2）计算。 解：本题可视为函数在上的三重积分。在面上的投影，设，则，故 。 Ex4（1）计算由曲面所围的立体体积。 解：设所围立体为，在面上的投影，则。 Ex4（2）计算由曲面所围的立体体积。 解：设所围立体为，当时，平面截的截面是直角三角形，两直角边长分别为与，则 。P311(第二十二章第三节练习：用第二型曲面积分计算三重积分) Ex2计算，其中是由与所确定的空间区域。解：令，则。 由高斯公式，。其中是的表面，取外侧。设，其中。，这里；。 ，这里。因此

15、。【解法二】：在面上的投影， 。P296（第二十二章第一小节：第一型曲面积分） Ex1（1）计算，其中是上半球面。 解：由对称性，。又 ，则。 Ex1（2）计算，其中为立体的边界曲面。解：设 ， ，由于，则， 设，则，故 。 Ex1（3）计算，其中为柱面被平面所截取的部分。 解：在上，则。 Ex1（4）计算，其中为平面在第一卦限中的部分。解：，则。P221（第二十章第二小节练习:平面曲线） Ex1（1）计算，其中：(I)沿抛物线，从到的一段；(II)沿直线段；(III)沿封闭曲线，这里。 解：(I) 。 (II) 。 (III），, 。 （(III）也可用格林公式。） Ex1（2）计算，其中为

16、摆线沿增加方向的一段。 解： 。 Ex1（3）计算，其中为圆周，依逆时针方向。 解： ，则。 Ex1（4）计算，其中为与轴所围的闭曲线，依顺时针方向。 解：设为曲线，为直线，则 。 Ex1（5）计算，其中：从到的直线段。 解： ，则。P222（第二十章总练习题） Ex1（4）计算，为以为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点到最下面一点。解： ，则。 Ex1（6）计算，是维维安尼曲线，若从轴正向看去，是沿逆时针方向进行的。解：把代入，得，则 ，故（奇函数）， （奇函数）， 故。P244（第二十一章第三小节：用green公式） Ex1（1）计算，其中是以为顶点的三角形，方向取正向。解：由格林公式

17、， 。 Ex1（2）计算，其中是为常数，为由以到经过圆上半部的路线。解：记直线，则。记，设所围成的区域为。由格林公式，。故 。P311(第二十二章第三小节空间曲线积分：高斯公式与斯托克斯公式) Ex3（1）计算，其中为由与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧。解：令，则 。设所围成的区域为，在面的投影为，由斯托克斯公式， （由对称性） （由对称性），故 。【解法二】：设为在面的部分，即。由对称性， 。 Ex3（2）计算，其中为所交椭圆的正向。解：令，则 。设所围成的区域为，则在面的投影面积为0，由斯托克斯公式，。【解法二】：把 代入，得 ，故。P304（第二型空间曲面积分）

18、Ex1（1）计算，其中为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。Ex1（2）计算，其中是以原点为中心，边长为的立方体表面并取外侧为正向。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。 Ex1（3）计算，其中是由平面和所围的四面体表面并取外侧为正向。解：设，其中，在面的投影。 由对称性， 。【解法二】：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式， 当时，平面截的截面是直角三角形，两直角边长分别为与，则 ， 由对称性，故 。 Ex1（4）计算，其中是球面的上半部分并取外侧为正向。解： 设，取右侧；，取左侧，其中，则。设，则。故 （令） 。【解法二】：记平面，取

19、下侧，则。记，设所围成的区域为。令，则。由高斯公式， ，当时，平面截的截面是圆，则 ，故。 Ex1（5）计算，其中是球面并取外侧为正向。解： 设，取上侧；，取下侧，其中，则。设，则。故，同理可得，故。【解法二】：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，当时，平面截的截面是圆，则 ， 同理可得，故 。P310（空间封闭曲面积分-高斯公式） Ex1（1）计算，其中是单位球面的外侧。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，。Ex1（2）计算，其中是立方体表面的外侧。解：令，则。设所围成的区域为，由高斯公式，（由对称性）。 Ex1（3）计算，其中是锥面与平面所围空间区域的表面，方向取外侧。解：令，则。

20、设所围成的区域为，由高斯公式，由对称性，；当时，平面截的截面是圆，故 ，因此 。Ex1（4）计算，其中是单位球面的外侧。解：令，则。设所围成的区域为，设，则。由高斯公式，。 Ex1（5）计算，其中是上半球面的外侧。解：记平面，取下侧，则。记，设所围成的区域为。令，则。由高斯公式，。 故。 Ex3（3）计算，其中为以为顶点的三角形沿的方向。解：令，则 。设所围成的区域为，在面的投影为，由斯托克斯公式， （由对称性） 。【解法二】：设为在面的部分，即。由对称性， 。P310 Ex5 验证下列积分与路线无关，并求其值。 Ex5（1）。解：由于，则 ，故在中，积分与路径无关，且 。 Ex5（2），其中，在球面上。解：由于，则 ， 故在不包含原点的区域中，积分与路径无关，且，由于，在球面上，即 ，故 。P310 Ex6 求下列全微分的原函数。 Ex6（1）。解：令，则 , ，则在单连通区域中，积分与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则 ， , ，故，因此原函数。 Ex6（2）。解：令，则 , ，则在单连通区域中，积分与路径无关。设定点，动点，选取路径,其中，则 ， , ，故 ，因此原函数。word文档 可自由复制编辑