自动控制原理习题集及其解答.doc

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1、自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足，则对于A点有 其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。(3) 写中间变量关系式 (4) 消中间变量得 (5) 化标准形 其中:为时间常数，单位秒。 为传递函数，无量纲。例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。(1) 写出运动方程式(2) 求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角q ，摆球质量为m。（2）由牛

2、顿定律写原始方程。图2-2 单摆运动 其中，l为摆长，lq 为运动弧长，h为空气阻力。（3）写中间变量关系式 式中，为空气阻力系数为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式 （2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在q 0的附近，非线性函数sinq q ，故代入式（2-1）可得线性化方程为 例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。图2-3 机械旋转系统 解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度w 。（2）列写运动方程式 式中， fw为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为 此为一阶线性微分方程，若输出变量改为q，则由于 代入方程得二

3、阶线性微分方程式 例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。图2-4 倒立摆系统 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角q 。(2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 XAXlsinq Xy = lcosq画出系统隔离体受力图如图25所示。图2-5 隔离体受力图 摆杆围绕重心A点转动方程为： （22）式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。摆

4、杆重心A沿X轴方向运动方程为：即 （23）摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： 即 小车沿x轴方向运动方程为： 方程（22），方程（23）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sinq 和cosq 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3) 当q 很小时，可对方程组线性化，由sinq q，同理可得到cos1则方程式(22)式（23）可用线性化方程表示为： 用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得 将微分算子还原后得 此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5 RC无源网络电路图如图26所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。图2-6 RC无

5、源网络 解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即： 如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。(1) 用复阻抗写电路方程式： (2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图26（a）。(3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图26（c）、(d)、(e)。（a）（b）（c）（d）图2-6 RC无源网络结构图 (4) 用梅逊公式直接由图26(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。独立回路有三个：回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则 由上式可写出特征式为： 通向前

6、路只有一条由于G1与所有回路L1，L2， L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为1=1代入梅逊公式得传递函数图2-8 PI调节器 例2-6 有源网络如图27所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图28所示PI调节器，写出传递函数。图2-7 有源网络 解：图2-7中Zi和 Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A点为虚地，即UA0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I1 = I2则有： 故传递函数为 （24）对于由运算放大器构成的调节器，式（24）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有故例2-7 求下列微分方程的时

7、域解x（t）。已知。 解：对方程两端取拉氏变换为： 代入初始条件得到 解出X（s）为： 反变换得时域解为： 图2-10 系统结构图的简化 图2-9 系统结构图 例2-8 已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。 解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a）所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b）。（3）最后将两个方框串联相乘得图2-10（c）。例2-9 已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。图2-11 系统结构图 解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a

8、）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2-12（b）。图2-12 系统结构图 （3）先用串联公式，再用并联公式 将支路化简为图2-12（c）。例2-10 已知机械系统如图2-13（a）所示，电气系统如图2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。（b）电气系统（a）机械系统图2-13 系统结构图 解：（1）若图2-13（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为： 取拉氏变换，并整理成因果关系有： 画结构图如图214： 图2-14 机械系统

9、结构图 求传递函数为： （2）写图2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：整理成因果关系： 图2-15 电气系统结构图 画结构图如图2-15所示：求传递函数为： 对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。 表2-1 相似量机械系统xix0yFF1F2K11/K2f1f2电气系统eie0ec2iii1/RRC1C2例2-11 RC

10、网络如图2-16所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结构图；图2-16 RC网络 （2）求传递函数U2(s)/ U1(s)。解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。输入回路 输出回路 中间回路 （3）整理成因果关系式。即可画出结构图如图2-17 所示。图2-17 网络结构图 （4） 用梅逊公式求出：例2-12 已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。图2-18 信号流图 解： 单独回路4个，即两个互不接触的回路有4组，即三个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为 因此，传

11、递函数为第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。解 首先求出系统的传递函数（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。 一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为即 比较系数得 解之得 、 解毕。例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为： （t0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数。解 因为故系统传递函数为 解毕。例3-3 设控制系统如图3-2所示。试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态

12、性能的影响。解 由图得闭环传递函数为系统是一阶的。动态性能指标为因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。h(t)t0.1034图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。系统模型为bs然后由响应的、及相应公式，即可换算出、。（s）由公式得换算求解得： 、 解毕。例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和K

13、t数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。1+Kts图3-35C(s)R(s)解 由图示得闭环特征方程为即 ，由已知条件 解得于是 解毕。图3-36 例3-14 控制系统结构图H(s)C(s)R(s)例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的1值，但保持增益K及自然频率n不变。解 由图得闭环传递函数 在题意要求下，应取 此时，闭环特征方程为：令： ，解出，故反馈通道传递函数为： 解毕。例3-15 系统特征方程为试判断系统的稳定性。解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。例

14、3-16 已知系统特征方程式为试用劳斯判据判断系统的稳定情况。解 劳斯表为 1 18 8 16 由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。例3-17 已知系统特征方程为试判断系统稳定性。解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。劳斯行列式为 由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数来代替；第四行第一列系数为（2+2/，当趋于零时为正数；第五行第

15、一列系数为（4452）/（2+2），当趋于零时为。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。解毕。例3-18 已知系统特征方程为试求：（1）在右半平面的根的个数；（2）虚根。解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。劳斯行列表为 由于行中各项系数全为零，于是可利用行中的系数构成辅助多项式，即求辅助多项式对s的导数，得原劳斯行列表中

16、s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为 1 8 20 2 12 16 2 12 16 8 24 6 16 2.67 16新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。对原点对称的根可解辅助方程求得。令 得到 和 解毕。例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；（2）当参考输入为，和时系统的稳态误差。解 根据误差系数公式，有位置误差系数为 速度误差系数为加速度误差系数为对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。参考输入为，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为参考输入为，即斜坡函数输入时系统的稳态误

17、差为参考输入为，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为 解毕。例3-20 单位反馈控制系统的开环传递函数为输入信号为r（t）=A+t，A为常量，=0.5弧度/秒。试求系统的稳态误差。解 实际系统的输入信号，往往是阶跃函数、斜坡函数和抛物线函数等典型信号的组合。此时，输入信号的一般形式可表示为系统的稳态误差，可应用叠加原理求出，即系统的稳态误差是各部分输入所引起的误差的总和。所以，系统的稳态误差可按下式计算：对于本例，系统的稳态误差为本题给定的开环传递函数中只含一个积分环节，即系统为1型系统，所以系统的稳态误差为 解毕。例3-21 控制系统的结构图如图3-37所示。假设输入信号为r(t)=at (为

18、任意常数)。证明：通过适当地调节Ki的值，该系统对斜坡输入的响应的稳态误差能达到零。Kis+1图3-37 例3-21控制系统的结构图C(s)R(s)解 系统的闭环传递函数为即 因此 当输入信号为r(t)=at时，系统的稳态误差为要使系统对斜坡输入的响应的稳态误差为零，即ess=0，必须满足所以 解毕。例3-22 设单位负反馈系统开环传递函数为。如果要求系统的位置稳态误差ess=0，单位阶跃响应的超调量Mp%=4.3%，试问Kp、Kg、T，各参数之间应保持什么关系？解 开环传递函数显然 解得:由于要求故应有 0.707。于是，各参数之间应有如下关系本例为I型系统，位置稳态误差ess=0的要求自然

19、满足。解毕。例3-23 设复合控制系统如图3-38所示。其中 ， ， 试求 时，系统的稳态误差。sK3C(s)图3-38 复合控制系统R(s)K1解 闭环传递函数等效单位反馈开环传递函数表明系统为II型系统，且当时，稳态误差为 解毕。例3-24 已知单位反馈系统的开环传递函数 。 试选择参数及的值以满足下列指标：（1）当r(t)= t时，系统的稳态误差ess0.02；（2）当r(t)=1(t)时，系统的动态性能指标Mp%30%，ts0.3s (=5%)解 开环增益应取K50 。现取K=60 。因故有，于是 取% ，计算得此时(S)满足指标要求。最后得所选参数为：K=60 T=0.02 (s)

20、解毕。例3-25 一复合控制系统如图3-39所示。图3-39 复合控制R(s)C(s)G2(s)G1(s)Gr(s)E(s)图中：K1、K2、T1、T2均为已知正值。当输入量r(t)= t2/2时，要求系统的稳态误差为零，试确定参数 a和b 。解 系统闭环传递函数为故 误差为 代入 及、, 得 闭环特征方程为 易知，在题设条件下，不等式成立。由劳斯稳定判据，闭环系统稳定，且与待求参数、 无关。此时，讨论稳态误差是有意义的。而若 则有系统的稳态误差为因此可求出待定参数为 解毕。E(s)C(s)N(s)R(s)2.5 图3-40 控制系统结构图例3-26 控制系统结构如图3-40所示。误差E(s)

21、在输入端定义。扰动输入是幅值为2的阶跃函数。 （1）试求K=40时，系统在扰动作用下的稳态输出和稳态误差。（2）若K=20，其结果如何？（3）在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1/s，对结果有何影响？在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1/s，结果又如何？解 在图中，令 ，则 代入，得 令，得扰动作用下的输出表达式 此时，误差表达式为 即 而扰动作用下的稳态输出为代入N(s)、G1、G2和H的表达式，可得，（1）当时，（2）当时，可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。若1/s加在扰动作用点之前，则，不难算得，若1/s加在扰动作用点之后，则，

22、容易求出可见，在扰动作用点之前的前向通道中加入积分环节，才可消除阶跃扰动产生的稳态误差。解毕。例3-27设单位反馈系统的开环传递函数为已知系统的误差响应为 （t0）试求系统的阻尼比、自然振荡频率n和稳态误差ess。解 闭环特征方程为由已知误差响应表达式，易知，输入必为单位阶跃函1(t)，且系统为过阻尼二阶系统。故即，系统时间常数为令 得 代入求出的时间常数，得，稳态误差为实际上，I型系统在单位阶跃函数作用下，其稳态误差必为零。解毕。第四章例4-1 设系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。（1）系统的开环极点为，是根轨迹

23、各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线渐进线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。渐进线与实轴的交点为 三条渐近线如图4-13中的虚线所示。（3）实轴上的根轨迹位于原点与1点之间以及2点的左边，如图4-13中的粗实线所示。（4）确定分离点系统的特征方程式为即利用，则有解得 和 由于在1到2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=1.577显然不是所要求的分离点。因此，两个极点之间的分离点应为s1=0.423。（5）确定根轨迹与虚轴的交点方法一 利用劳斯判据确定劳斯行列表为 12 32 0 2由劳斯判据，系统稳定时K的极限值

24、为3。相应于K=3的频率可由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为。根轨迹与虚轴交点处的频率为方法二 令代入特征方程式，可得即 令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即，所以 （6）确定根轨迹各分支上每一点的值根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式求出后一条根轨迹分支上K=3的点为x=3。由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为0.423j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为 所以 ，x=2.154。 因本系统特征方程式的三个根之和为2K，利用这一关系，可确

25、定根轨迹各分支上每一点的K值。现在已知根轨迹的分离点分别为0.423j0和2.154，该点的K值为即，K=0.195。系统的根轨迹如图4-1所示。图4-1 例4-1系统的根轨迹jS平面例4-2 设控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解 （1）系统的开环极点为0，3，(1j)和(1j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线渐近线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3，或60及180。三条渐近线如图4-14中的虚线所示。渐近线与实轴的交点为（3）实轴上的根轨迹位于原点

26、与零点2之间以及极点3的左边，如图4-14中的粗线所示。从复数极点(1j) 出发的两条根轨迹分支沿60渐近线趋向无穷远处。（4）在实轴上无根轨迹的分离点。（5）确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为即 劳斯行列表 18 5 0 6 若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为=1.614。（6）确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（1j）出发的根轨迹的出射角为将由图4-14中测得的各向量相角的数值代入

27、并取k=0，则得到系统的根轨迹如图4-14所示。 0-j3-126.69045135j3j2j1-4-3-2jS平面图4-2 例4-2系统的根轨迹例4-3 已知控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹。解（1）系统的开环极点为0，0，5，20和50，它们是根轨迹各分支的起点。共有五条根轨迹分支。开环零点为0.125，有一条根轨迹分支终止于此，其它四条根轨迹分支将趋向于无穷远处。（2）确定根轨迹的渐近线渐进线的倾斜角为取式中的K=0，1，2，3得a=45和a=135。渐近线与实轴的交点为 （3）实轴上的根轨迹位于0.125和5之间以及20，与50之间。（4）确定根轨迹的分离点和会合点本例中，系

28、统各零点、极点之间相差很大。例如，零点0.125与极点之间仅相距0.125,而零点0.125与极点50之间却相差49.875。因此，可作如下简化：在绘制原点附近的轨迹曲线时，略去远离原点的极点的影响；在绘制远离原点的轨迹曲线时，略去零点和一个极点的影响。（A） 求原点附近的根轨迹和会合点略去远离原点的极点，传递的函数可简化为K（s+0.125）/s2。零点0.125左边实轴是根轨迹，并且一定有会合点。原点处有二重极点，其分离角为90。确定会合点的位置。此时，系统的特征方程式为或 利用,则有解之可得 s1=0.25, 即会合点；s2=0，即重极点的分离点。（B） 求远离原点的根轨迹和分离角略去原

29、点附近的开环偶极子（零点0.125和极点0），传递函数可简化为此时，系统的特征方程式为或表示为利用,则有解之可得s1=2.26 和 s2=40.3。分离点的分离角为90。注意，在零点0.125和极点5之间的根轨迹上有一对分离点（2.26, j0）和(2.5, j0)。(5) 确定根轨迹与虚轴的交点令代入特征方程式，可得整理后有 解之得 ， 系统的根轨迹如图4-3所示图4-3 例4-3系统的根轨迹jS平面例4-4，设控制系统的结构图如图4-所示C(s)R(s)图4-4 控制系统的结构图图 3-10 标准化二阶系统试证明系统根轨迹的一部分是圆；解 系统的开环极点为0和2，开环零点为3。由根轨迹的幅

30、角条件得 s为复数。将代入上式，则有即取上述方程两端的正切，并利用下列关系有即这是一个圆的方程，圆心位于（3，j0）处，而半径等于（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。例4-15已知控制系统的开环传递函数为试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K值的范围.解 （1） 系统的开环极点为0，1和2j3.46,开环零点为1。（2） 确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得a=/3，5/3。渐进线与实轴的交点为（3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及1与之间。（4） 确定根轨迹的分离点系统的特征方程式为即利用,则有解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=2.22。（5）

31、确定根轨迹与虚轴的交点系统的特征方程式为劳斯行列表为 112K 3 -16 K 0 K若阵列中的s1行全等于零，即系统临界稳定。解之可得K=35.7 和 K=23.3。 对应于K值的频率由辅助方程确定。当K=35.7 时 ，s=j2.56；当K=23.3时 ，s=j1.56.根轨迹与虚轴的交点处的频率为=2.56 和=1.56。（6）确定根轨迹的出射角（自复数极点2j3.46出发的出射角）根据绘制根轨迹基本法则，有因此，开环极点2j3.46的出射角为1,2=54.5。系统的根轨迹如图4-17所示。由图4-17可见，当23.3 4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0K0, 先做出常规根轨迹。 系统开环有限零点z1=2，z2=4；开环有限极点为 p1=p2=0，p3=1，p3=3。实轴上的根轨迹区间为-4，-3，-2，-1。根轨迹有两条渐近线，且a=1，a=90。作等效系统的根轨迹如图4-8所示。图4-8 例4-7系统的根轨迹-4-3-2-10jS