中国人口增长预测-数学建模.doc
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1、中国人口增长的预测和人口的结构分析摘要本文是在已知国家政策和人口数据的前提下对未来人口的发展进行预测和评估,选择了两种模型分别对人口发展的短期和长期进行预测。模型一中我们在人口阻滞增长模型logistic模型的基础上进行改进,弥补了logistic原始模型仅仅能表示环境对人口发展趋势影响的缺陷,加入了社会因素的影响作为改进,保证了logistic改进模型的有效性和短期预测的正确性。多次运用拟合的方法(非线性单元拟合,线性多元拟合)对数据进行整合,得到的改进模型对短期预测具有极高的准确性,证明了我们的修正方式与模型改进具有一定的正确性。模型二中我们分别考虑了城、乡、镇人口的发展情况,利用不同年龄
2、段存活率和死亡率的不同,采用迭代的方式也就是Leslie矩阵的方式对人口发展进行预测,迭代的方式不同于拟合,具有逐步递进的准确性,在参数正确的前提下,能够保证每一年得到的人口都有正确性,同时我们分男女两方面来考虑模型,不仅仅用静态的男女比例来估算人口总数,具有更高的准确性。然而Leslie模型涉及的参数较多,如果采用动态模型的方式,计算量过大,我们首先用均值的方式对模型进行简化,同样得到迭代矩阵后的人口数值,发展趋势与预测相同,能够很好的预测中国人口的长期发展,同时,由于Leslie矩阵涉及多个参数,所以我们用最终的结果来表征老龄化程度,城乡比,抚养比等多个评价社会发展的参数,得到了较好的估计
3、值,使模型在估算人口的基础上得到了推广和应用。通过logistic改进模型和Leslie模型我们分别对中国人口发展进行短期和中长期预测,均能得到很好的效果,说明了我们的模型在适用范围内的准确性和实用性。关键词:人口发展预测;logistic模型改进;参数拟合;Leslie迭代模型;一、问题重述中国是世界上人口最多的发展中国家, 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一,人口众多、资源相对不足、环境承载能力较弱是中国现阶段的基本国情,短时间内难以改变。人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一. 无论是对我国目前发展的认识还是对未来发展的预测,人口问题的研究都有着非常重要的意义. 从我国的实际情况
4、和人口特点出发,认识人口数量的变化规律,建立人口模型,做出较准确的预测是控制人口增长的前提,而预测中国人口的变化趋势,是一切政策和方案实施的前提,所以,结合材料和背景,根据中国人口变化的趋势预测中国未来人口的变化是我们需要去研究的课题。二、问题分析材料中给出了中国人口年鉴来提供人口变化趋势,同时给出了中国人口发展战略报告来为我们提供中国人口的控制方案和方向,结合材料我们得到,最初未进行计划生育期间,人口数量大幅度上升,出生率远远大于死亡率,导致当下中国具有极大的人口基数,即使已经实施了计划生育政策,我们每年的新生婴儿数量仍然非常巨大,归根究底,都是因为过去的几十年里累计的巨大人口基数导致的。而
5、当下,由于计划生育的实施以及时代的发展,大量的家庭几乎只有一个孩子甚至不生孩子,由此带来的是零增长甚至负增长,所以,结合当下我国人口基数大,然而生育率已经骤减等现况,结合经典人口预测模型对我国人口进行预测,是我们对问题的解决方案。(1)首先我们要对人口的短期变化趋势进行预测,对当前和短期内的人口分布,人口现状进行定性的描述。虽然不同算法具有局限性,然而短期预测时,大量算法如:灰色预测,拟合预测都能够一定程度接近地对人口变化趋势进行表征而不产生较大误差,但是为了能够精准预测,我们选择对logistic模型进行改进,使其在进行短期预测时能够更加准确减少误差。(2)在对人口的短期预测结束后,我们要对
6、人口发展进行长期的预测,而材料中给出了城乡镇三类地区的人口分布,也帮助我们细化不同地区的人口发展,同时也能更加准确地对全国人口的人口发展进行长期预测,为此我们引入Leslie模型,利用矩阵迭代的方式进行长期的人口预测,在稳态下保证Leslie模型对长期预测就有准确性。三、模型建立1)符号说明r人口增长率xi人口数量下角标表示不同情况下的人口数量g=g(t)修正因子k年代,时间b生育率s存活率d死亡率2)模型假设 1.假设社会稳定发展,不考虑意外发生的战争瘟疫等造成人口产生突变的因素。2.由于社会发展的稳定性,假设年代不是影响出生率,死亡率等计算因子的主要因素,可以认为出生率,存活率,死亡率等因
7、子是关于年龄的单元函数。3.假设当前政策长久进行,女性生育年龄分布和生育模式保持当前情况不变,由此我们可以认为各年龄段的女性和男性生育率是一个固定分布。3)模型建立模型一、利用logistic模型的改进来预测短期人口的变化我们知道,普通的人口阻滞增长模型将额外的环境条件等限制人口增长的因素考虑进来,并认为人口数量越大阻滞作用越明显,将人口的增长率r看作一个关于人口数量的函数而不认为是一个定值,此时r=r(x),所以人口变化趋势可以用微分方程来表示:我们引入人口容量设为,则r()=0,此时r(x)=r(1-)由此解得:x(t)=综上,我们得到了原始的logistic模型,代表了环境容纳量一定的情
8、况下人口发展的情况,然而我们单单考虑了环境因素而没有考虑社会因素的影响,这是导致logistic模型产生误差的原因,所以我们引入修正因子作为社会因素的影响修正,引入g()作为修正项,得到改进后的logistic函数:x(t)=+g()此时,我们通过数据研究,引入主要影响的三个因素,分别为城镇人口比例,男女比例以及老龄人口比例作为影响因素,于是我们得到g=g(),随后移项可得影响因子的关系函数g()= x(t)-由于假设中提到了社会稳定的问题,所以我们认为城乡比,男女性别比例等一系列因素仅仅是时间的函数,随年份的改变而改变,所以g=g()=g(t)我们利用01年到05年的数据对logistic模
9、型进行拟合(拟合函数见附录),得到xm和r的值,得到简单的logistic模型参数,附曲线如图Xm=14.1990396292082;r=0.069311514967144;得到logitic原始模型为x(t)=图:logistic原始模型拟合人口随时间变化从图中我们虽然没有发现人口的S型增长,但是我们预见到峰值将会出现在2050年左右,符合人口发展的趋势,这里没有出现我们希望的S型增长,可能是因为我们的人口增长趋势已经进入S型增长的后半部分,或者中国人口基数过大或者模型简单考虑环境因素并没有很好解释人口发展,所以我们认为该图仍具有正确性,并以此为基础进行修正因子加入的改进。而后我们对修正因子
10、进行估算,通过数据,我们得到x(t)以及logistic模型的数值,代入可以得到g(t)的值,我们取2001-2005年城镇人口比例男女性别比例老龄化人口比例分别为x1 x2 x3作为影响因素,代入t=0、1、2、3,分别得到G1=g()=g(0)=0.0091G2=g()=g(1)=0.0042G3=g()=g(2)=-0.0021G4=g)=g(3)=-0.0012G5=g)=g(4)=-0.003我们进行多参拟合,因为三个影响因素的比重相差不多,我们不考虑层次分析简单地认为三个影响因素权重相同,为此我们引入多参变量的一次拟合方式:g(t)=a+bx1+cx2+dx3代入01年到04年的数
11、据进行多参拟合得到t城镇比重男女比例老龄人口比重实际人口原始logistics数据200100.3716551.15327.182021276271275360.0091200210.3870971.19327.526011284531284110.0042200430.4117891.19288.18121130000130021-0.0021200320.4123541.697.86589129227129239-0.0012200540.4484271.18468.65496130756130759-0.0003由于假设中我们提出,男女比例,城乡比,老龄化比重等因素不会因为年代的改变而发
12、生突变,所以我们认为这些因子都是关于时间的函数,此后我们分别用二次拟合的方式对城镇人口比例,老龄化比例和男女比例进行二次拟合(拟合程序见附录):x1 =0.0022823 t3 - 0.01251 t2 + 0.032717 t + 0.37025x2=0.0026833 t3 - 0.093986 t2 + 0.34086 t + 1.1113x3 =0.013545 t3 - 0.064487 t2 + 0.40946 t + 7.1791随后我们利用g(t)=a+bx1+cx2+dx3作为目标函数进行多参数拟合利用f=x(t)-得到的表格中的数据进行拟合得到:a,b,c,d的数值如下:a
13、=0.303466672b=-0.015436071206309c=-0.021475121184176d=0.067720279因此我们可以得到g()= 0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279代入修正因子,我们得到改进后的logistic函数:x(t)=+ 0.303466672X1-0.01543607X2-0.021475121X3+0.067720279分别代入拟合后的三个修正因子关于t的函数关系得到最终的logistic改进模型:x(t)=+ 0.303466672*(0.0022823 t3 - 0.01251 t2
14、 + 0.032717 t + 0.37025)-0.01543607(0.0026833 t3 - 0.093986 t2 + 0.34086 t + 1.1113)-0.021475121(0.013545 t3 - 0.064487 t2 + 0.40946 t + 7.1791)+0.067720279利用这个函数我们重新预测短期内的人口发展如下:表:利用logistic改进模型对未来人口预测年份估计值年份估计值年份估计值200613.21323202413.9473204214.17352200713.27887202513.96824204314.17972200813.34071
15、202613.98784204414.18552200913.39893202714.00617204514.19093201013.45372202814.02333204614.19598201113.50524202914.03937204714.2007201213.55367203014.05436204814.2051201313.59918203114.06839204914.20922201413.64192203214.0815205014.21306201513.68204203314.09375205114.21664201613.71968203414.10521205
16、214.21998201713.755203514.11591205314.22311201813.78811203614.12591205414.22602201913.81915203714.13526205514.22874202013.84824203814.14399205614.23128202113.8755203914.15214205714.23365202213.90102204014.15976205814.23586202313.92492204114.16687205914.23793图:logistic改进模型关于总人口的预测从图中我们可以看出,我国人口在未来的20
17、年内平稳增长并在2030年附近达到峰值并可能长期保持这个趋势,在政策不变社会稳定的前提下,我国人口将平稳发展不会产生较大的改变。最后我们为了检验logistic改进模型对于短期预测的准确程度,我们进行误差分析:利用已知数据和估计数据的比较来评判误差:表:logistic改进模型与实际情况的比较t值实际值logistic估计值误差误差百分比0198710.9310.997720280.0061960.6195821198811.102611.16886780.0059690.5968672198911.270411.333459730.0055950.5595163199011.433311.4
18、91493030.005090.5089784199111.582311.642995110.005240.5240335199211.717111.788021230.0060530.605286199311.851711.926651740.0063240.6324137199411.98512.058989460.0061740.6173518199512.112112.185156880.0060320.6031739199612.238912.30529360.0054250.5424810199712.362612.419553760.0046070.46069411199812.
19、76112.52810363-0.01825-1.8250612199912.578612.631119330.0041750.41752913200012.674312.728784710.0042990.42988314200112.762712.821289370.0045910.45906715200212.845312.908826890.0049460.49455416200312.922712.99159320.0053310.5331181720041313.069785110.0053680.53680918200513.075613.143599060.00520.5200
20、4519200613.144813.213229950.0052060.52058620200713.212913.278870170.0049930.49928621200813.280213.340708780.0045560.45563222200913.34513.398930780.0040410.40412723201013.409113.453716510.0033270.33273324201113.705313.50524121-0.0146-1.45972误差比较图线如下:图:logistic估计值与实际值的比较经过比较我们发现,我们的模型预测出来的人口发展状况与事情情况拟
21、合程度较好,证明影响因子的相互关系选择正确,所以不再进行修正,认定该算法的可行性。模型二、利用Leslie模型分类进行长期预测一、模型的建立与求解我们利用logistic模型的改进模型对人口发展趋势进行了预测,然而我们知道,拟合的函数在端点值附近有较好的准确性,而随着次数和预测距离的增大,数值的稳定性会产生极大波动最后失去稳定性,同时logistic模型的缺陷是只能对人口发展趋势进行预测,而不能反映出城乡镇人口分布,男女比例分布对人口变化的影响,同时我们的logistic改进模型对长期的预测也会产生较大误差,综上,我们需要另一个模型进行分类的长期预测并保证长期预测的稳定性,为此,我们引入Les
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