第五章声子：-热学性质.ppt

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1、 第五章第五章 声子声子IIII：热学性质：热学性质Phonons I I：Thermal Properties24.1 点阵热容点阵热容3固体的热容在任一过程中加给体系的热量与体系由此发生的温度的变化之比被定义为体系的热容。固体的定容热容量定义为:其中U是固体内能，包括晶格系统内能和电子系统内能，因此热容也包括晶格热容（点阵热容）和电子系统热容两部分。电子热容只在低温下显著。本章只讨论点阵热容。4 对对于于由由N个个原原子子构构成成的的三三维维简简单单晶晶格格，晶晶格格热热容容量量在在高高温温下下的的实实验验结结果果为为3NKB，在在低低温温下下，绝绝缘缘体体的的热热容容量量以以T3趋趋于零

2、、导体的热容量按于零、导体的热容量按T 趋于零趋于零 晶格热容的经典困难晶格热容的经典困难CV05 经经典典理理论论中中，由由能能量量均均分分定定理理得得到到，原原子子的的每每一一个个自自由由度度的的平平均均能能量量是是KBT，其其中中是是动动能能和和势势能能各各占占一一半半；则则N个个原原子构成的三维晶体的内能为子构成的三维晶体的内能为3NKBT，晶格热容为晶格热容为 这这就就是是经经典典的的杜杜隆隆-珀珀蒂蒂定定律律，在在高高温温下下与与实实验验结结果果符符合合很很好好，但但是是无无法法解解释释晶晶格格热热容容量量在在低低温温下下趋趋于于零零的的实实验验结结果果这是经典物理理论遇到的一个不

3、能解决的困难问题这是经典物理理论遇到的一个不能解决的困难问题。只只有有晶晶格格振振动动的的量量子子理理论论，才才能能正正确确地地解解释释晶晶格格热热容容量量在在低温下趋于零的实验结果低温下趋于零的实验结果 6 不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各不同频率的谐振子系统对热能的贡献应是所有各模式对热能的贡献之和：模式对热能的贡献之和：模式对热能的贡献之和：模式对热能的贡献之和：7式中 是简正模式的波矢，表示色散关系的第 支，是某模式上的声子数：通常情况下要把热能计算式中对 的求和用对频率的积分来计算，为了进行

4、这样的变换，引入简正模式密度的概念。8 定义:在频率 附近单位频率间隔中的简正模式数。用 表示。（有时也用单位体积、单位频率间隔中的简正模式数）表示在频率 范围内的简正模式数，模式密度又称为声子的态密度（或能级密度），引入简正模式密度后，则热能可表示为：1.简正模式密度简正模式密度9（1）一维晶体的模式密度一维晶体的模式密度满足周期性边界条件的满足周期性边界条件的K所占长度：所占长度：则模式密度满足：则模式密度满足：一维波矢空间单位体积的模式数一维波矢空间单位体积的模式数(波矢空间态密度波矢空间态密度)：其中其中2表示一维波矢空间中的色散关系为左右对称的两部分表示一维波矢空间中的色散关系为左右

5、对称的两部分得到模式密度：得到模式密度：若若vg=0，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一，则模式密度发散，出现一个奇点，这个奇点叫做一维模式密度的维模式密度的Van Hove奇点，在奇点，晶体的热学性质要出奇点，在奇点，晶体的热学性质要出现反常。现反常。dk10One dimensional monatomic lattice D()kD(k)L/2-/a/a0(N/)(M/C)1/2(4C/M)1/20Total number of modes 推导出此式 11（2）二维晶体的模式密度二维晶体的模式密度periodic boundary condition,N2 primitive

6、 cells within a square of side L exp i(kxx+kyy)=exp i(kx(x+L)+ky(y+L)whence kx,ky=One mode per unit area in k-space Number of modes with wavevector from k to k+dk in k-space The number of modes per unit frequency range12 在三维晶体中，晶体的尺寸为边长为L的正方体，波矢的取值为：、=0、（为整数）边界条件允许的 值均匀地分布在波矢空间边长为 的小立方体的顶点上，每个波矢占的体积

7、为 ，单位体积中的模式数为 。模式密度取决于物理模型。（3）三维晶体的模式密度三维晶体的模式密度13D()d =D(k)dv complicated!-must map out dispersion relation and count all k-values with each frequencyThe number of modes per unit frequency range for each polarizationkXkyka quadratic dependence!for each polarizationContinuum waves:=vgk depending onl

8、y on amplitude of k14 若已知一个频率为 的声子的等能面，当频率改变一个小量 时，要求出在频率间隔 中有多少模式，即求出模式密度。薄壳中的模式数为 模式密度的一般表达式模式密度的一般表达式1516 为计算薄壳的体积，我们在频率为 的声子的等能面上选一个小面积元 ，则小体积元体积为 （为频率为 的等能面与 的等能面之间的垂直距离）。而 与频率梯度之间有：+d dk17（三维时 ，一维时 ）将 代入上面的积分表达式中有：利用上式只要知道色散关系及声子等能面的形状就可求出模式密度，但是在一般情况下利用上式计算模式密度是非常困难的，上式只不过是一个理论公式而已。18上面的计算只考虑

9、了色散关系的一支，求出了模式密度，若有 支色散关系，则：若在某些点（或某些频率上）出现 的情况，可能不会是发散的，但它的一阶导数是发散的，此时 将出现奇点，称为Van Hove奇点。19理论计算遇到的问题20 所谓德拜模型是假定在晶体的波矢空间存在着连续介质弹性波的色散关系，这相当于长波极限下声学支格波的色散关系 .的色散关系是线性的，德拜模型正是由这样一个简单的线性色散关系去替代复杂的色散关系.a.德拜模型德拜模型21 一般情况下，先画出某支色散关系的等能面来，声子的能量为 能量相同就意味着 相同，即 常数，在波矢空间中 相等的点组成的面称为等能面，在德拜模型中，所有 相等的点在波矢空间中为

10、一波矢 为半径的球面。2223在球内的模式数应为：球的体积波矢空间单位体积的模式数 =则模式密度单位频率间隔中的模式数为:24由于对一个有三种偏离振态（三个声学支），则有：对于纵波：对于横波：（两支横波可简并）25 总的模式密度：当三种模式都可简并时:26函数图形如下，是一个抛物线性函数：27 按连续介质中弹性波的理论，频率是不受任何限制的，可从0变到，则总的模式数：发散。这个结果表明，总的模式数有无限多，而与晶体中的模式数与总自由度相同的结果相矛盾。28 为了解决这个矛盾，德拜认为不是所有的频率的模式都存在，而存在着一个频率上限 ，称为德拜截止频率，超过 的振动模式是不存在的，而频率小于 的

11、模式可用连续介质中的弹性波处理，由总的3N个声子模式自由度决定：（为初基晶胞数）则 29与德拜截止频率相对应的波矢定义为德拜截止波矢:是晶体中格波的最大波矢，以 为半径在波矢空间画一个球，称为德拜球，球内应包含所有的简正模式，即3N个模式，球外的短波振动在晶体中是不存在的，而球内的所有模式可用连续介质中的弹性波来处理，球内的模式数应为晶体中所有的模式数，即3N个。30根据此模型，模式密度为 德拜模型实际上是用一个球（德拜球）德拜模型实际上是用一个球（德拜球）代替第代替第1 BZ31 所谓爱因斯坦模型是假定所有的简正模式都具有相同的频率，色散关系曲线是一条水平线，频率不是波矢的函数，这实际上是长

12、光学支模式（）上式的系数由整个振动模式决定，若三个光学支都用爱因斯坦模型，则：b.爱因斯坦模型爱因斯坦模型32 由热能对温度在体积一定时求偏微商，可得定容热容2.点阵热容的量子理论点阵热容的量子理论33频率为频率为 j j的的振动模式由一系列量子能级为振动模式由一系列量子能级为 组成子体系。组成子体系。n 一个频率为一个频率为 j的的振动模式对热容的贡献振动模式对热容的贡献3.4.2 3.4.2 晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论 一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量 与晶格振动频率和温度有关系与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模式对热容贡献一个振动模式对热容贡献 推导推导34高温

13、极限高温极限 与杜隆与杜隆 珀替定律相符珀替定律相符 一个振动模式对热容贡献一个振动模式对热容贡献 忽略不计忽略不计35低温极限低温极限 定性地与实验结果相符定性地与实验结果相符 一个振动模式对热容贡献一个振动模式对热容贡献36n 三维单原子三维单原子晶体中有晶体中有3N个振动模式，总的能量个振动模式，总的能量晶体总的热容晶体总的热容37爱因斯坦模型爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率 E振动振动 一个振动模式的平均能量一个振动模式的平均能量晶体热容晶体热容总能量总能量38爱因斯坦温度：爱因斯坦温度：选选取取合合适适的的 E值值，在在

14、较较大大温温度度变变化化的的范范围围内内，理理论论计计算的结果和实验结果相当好地符合算的结果和实验结果相当好地符合 大多数固体大多数固体 爱因斯坦热容函数爱因斯坦热容函数 为便于和实验比较为便于和实验比较39v 高温下：高温下：T E 即即高温下，高温下，CV 3NkB，与与经典的杜隆经典的杜隆-珀珀蒂蒂定律定律得到相同的结果得到相同的结果利用泰勒展开自己证明利用泰勒展开自己证明40v 在低温下：在低温下：T E 即即当当T0时，时，CV 0，与实验结果定性符合，与实验结果定性符合但实验结果表明，但实验结果表明，T0，CV T3 0根据根据Einstein模型，模型，T0，CV exp(-/k

15、BT)0413NKBCVT/E42 德拜固体的热容德拜固体的热容假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波（成连续介质的弹性波（Debye，1912）弹性波）弹性波 的等频面是一个球面的等频面是一个球面4344德拜温度德拜温度晶体总的热容晶体总的热容 令令德拜热容函数德拜热容函数在黑板上推导在黑板上推导 45在高温极限下在高温极限下晶体总的热容晶体总的热容 与杜隆珀替定律一致与杜隆珀替定律一致德拜模型的高温热容与经典理论一致。德拜模型的高温热容与经典理论一致。德拜热容函数德拜热容函数推导此式推导此式46在甚低温下在甚低温下

16、T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好 温度很低时，主要的只有长波格波的激发温度很低时，主要的只有长波格波的激发晶体热容晶体热容 晶体热容晶体热容 47几种晶体的德拜温度几种晶体的德拜温度在德拜模型中，德拜温度在德拜模型中，德拜温度 是一个重要参量，它都是间接由是一个重要参量，它都是间接由实验来确定。其方法有两种：实验来确定。其方法有两种：1 1）测出声速）测出声速v v，确定，确定2 2）测出材料的热容量，）测出材料的热容量，确定确定晶格T由热容求得的由弹性常数求得的NaClKClAgZn10344308230225308

17、32024621630548 低温下热容与温度的三次方成正比，这与实验结果相当一致，主要原因是它的基本假设是长声学波模型，在低温下只有频率较低的长波模式才是受热激发的，而频率高的短波模式都已冻结，在这些模式上布居的声子数很少，用线性色散关系去处理问题，恰好与实验结果吻合的好，任何晶体在低温下都可用德拜模型处理。49 一个简单物理模型理解德拜T3定律在波矢空间中以德拜波矢为半径画一个球50 在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被会被热激发，而被“冷冻冷冻”下来。所以下来。所以 高能量高能量 的声子对热容几乎没有贡献；只有那些的声子

18、对热容几乎没有贡献；只有那些 的的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。在在k空间中，被热激发的声子所占的体积比约为空间中，被热激发的声子所占的体积比约为由于热激发，系统所获得的能量为：由于热激发，系统所获得的能量为：51简单模型之下德拜模型之下分析结果的差距之原因所在分析结果的差距之原因所在52 从以上讲述中我们不难看到，固体物理中处理的是有大量粒子存在且粒子之间有强相互作用的体系，不可能精确求解，通常用一些简单的物理模型处理问题，简单模型包含了复杂问题的关键所在。因此在处理物理问题时要注意物理模型的选取，从这个意义上来说，固体物理的发展史也可以说是物理

19、模型的演变史。CV T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到必须在很低的温度下才成立，大约要低到T D/50，即约，即约10 K以下才能观察到以下才能观察到CV随随T3变化变化 Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下，相当成功的，特别是在低温下，Debye理论是严格成立的。理论是严格成立的。但是，需要指出的是但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。53德拜温度的物理意义 德拜温度是表示固体热学性

20、质的主要参数，对大多数固体，其值约102K，一般在实验上通过测试热容得到。materialDiamondCuAgAuPb (K)2230343225165105Kittel:Table 1 in ch.5(P.126)54Lattice vibrations:mode(k,)k is in BZ,discrete (k)dispersion relation D()density of states E()=(n+1/2)Phonons:number n energy=crystal momentum kThermal properties (equilibrium)thermal energ

21、yheat capacity简单小结简单小结555.2 非简谐晶体相互作用非简谐晶体相互作用561.非简谐效应非简谐效应571 非简谐效应非简谐效应 前面在讨论晶格振动时，采取简谐近似，把晶格振动等前面在讨论晶格振动时，采取简谐近似，把晶格振动等效成效成3N个简正振动模式。这个简正振动模式。这3N个简正振动模式是互相独立的，个简正振动模式是互相独立的，即当一种模式被激发，它将保持不变，不能把能量传递给其即当一种模式被激发，它将保持不变，不能把能量传递给其他模式的简正振动。他模式的简正振动。若果真如此，把温度不同的两晶体接触后，它们的温度若果真如此，把温度不同的两晶体接触后，它们的温度不会达到同

22、一个温度。不会达到同一个温度。这显然与实验事实不符这显然与实验事实不符!这一事实又如何解释呢？这一事实又如何解释呢？晶格振动的非简谐效应晶格振动的非简谐效应!58 常数，可取为零点常数，可取为零点简谐近似简谐近似 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 平衡条件平衡条件在这个近似下，格波都是独立的，简正模在这个近似下，格波都是独立的，简正模式间无互作用。式间无互作用。59 非简谐效应中，格波不再独立，及声子有相互作用，声子气体不再是理想气体。如果非简谐项相对于简谐项是一些比较小的量，此时可近似认为格波是独立的，但还要考虑格波间的相互作用，即可把高次项作为微扰来

23、考虑。在晶体原子相互作用势能的泰勒展开式中,三次方项和三次方以上的项称为非简谐项，有些物理效应是由非简谐项引起的，讨论这些物理效应就必须考虑非简谐项。由非简谐项引起的效应称为非简谐效应典型的非简谐效应有热膨胀和热传导。60 如果考虑势能级数中三次方项的非简谐项的贡献，简正振动如果考虑势能级数中三次方项的非简谐项的贡献，简正振动就不是严格独立的，而是就不是严格独立的，而是3N个简正振动模式（格波）之间存在相个简正振动模式（格波）之间存在相互作用，存在能量的交换。格波间存在能量的交换，用声子模型互作用，存在能量的交换。格波间存在能量的交换，用声子模型来说，就是各类声子间会交换能量，或更形象地说就是

24、各类声子来说，就是各类声子间会交换能量，或更形象地说就是各类声子间会发生碰撞。间会发生碰撞。两两温温度度不不同同的的物物体体接接触触后后，由由于于温温度度高高的的物物体体内内不不仅仅声声子子浓浓度度高高，而而且且能能量量大大的的声声子子也也多多，声声子子以以碰碰撞撞的的方方式式向向温温度度低低的的物物体体里里扩扩散散。正正是是由由于于通通过过声声子子的的碰碰撞撞机机制制，两两物物体体最最终终达达到到热热平平衡衡，温温度度相相等等。另另外外，如如携携带带热热流流的的声声子子在在传传播播过过程程中中不不与与其其它它的声子碰撞，就无热阻可言，热导率就会无限大。的声子碰撞，就无热阻可言，热导率就会无限

25、大。612.热膨胀热膨胀62 若两个原子之间的互作用势是简谐势，则其图形应为严格的抛物线，随振幅的增大，两原子之间的平均距离不会增大，就不可能有热膨胀，热膨胀是由于原子之间互作用势是不对称（其图形不是严格的抛物线）而引起的，由于原子间平均距离增大引起了热膨胀。63若将势能取到三次方项，则若将势能取到三次方项，则有有u(r)此时，上式表示的势能函数是图中实线所示。可以看出这是此时，上式表示的势能函数是图中实线所示。可以看出这是一条不对称曲线，一条不对称曲线，r0的左边部分陡峭，右边部分平缓。温度的左边部分陡峭，右边部分平缓。温度升高后，两原子间的相对振幅升高后，两原子间的相对振幅|r-r0|增大

26、，其平衡位置向右偏增大，其平衡位置向右偏离，两原子平衡位置的距离大于离，两原子平衡位置的距离大于r0。原子平衡位置间的距离。原子平衡位置间的距离增大，物体体积变大，即所谓受热膨胀。这说明增大，物体体积变大，即所谓受热膨胀。这说明晶体的热膨晶体的热膨胀是一种非简谐效应胀是一种非简谐效应。64在非简谐情况下:第一项为简谐项，第二项引起势能函数的不对称性（即三次方项），本身是负值，因此势能曲线一边平缓，一边陡峭。再看第一项与第三项的和，其中 相当于力常数这样一个量，是 的函数，随 的增大 减小，表示大振幅下势能的减小。65只考虑势能函数的前三项时 （是相对于平衡位置的位移）按玻尔兹曼统计，在温度 下

27、的平均位移为：=式中先看分子项先看分子项:66考虑到位移是小位移，则：忽略高次项后得：=67分母项 在经典范围内原子间位移的平均值为：，仅与g有关正是由于势能函数曲线的不对称性，才导致了的变化，线膨胀系数：68 是一个与温度无关的常数。如果考虑势能展开式中更高次项，线膨胀系数将与温度有关。69 我们引入声子平均自由程的概念，即连续碰撞之间的平均距离，用气体分子运动讨论声子对热能的输送。3.点阵热导率点阵热导率70单位时间、单位面积上流过的热能称为热能流密度：（负号表示 与 反向，即 与温度梯度反向）这就是热传导方程。71在晶体中相距 的两点的温度差应为：，若 代表平均自由程，则 为在 方向走过

28、范围的温度差，用 代表声子热容（一个声子对热容的贡献）。则（为声子浓度）。用 代表 方向声子的群速度。则单位时间内通过单位面积的热流应当为：（为单位时间、单位面积上流过的声子数，声子在一次碰撞中放出的热能）72（上式中利用了 ，称为弛豫时间，即两次碰撞之间的时间间隔）由于对不同的声子有不同的群速度值，并且在 、三个方向 是均分的，考虑到这一点，则应由代表，由于能量均分，所以可以得到：73因此 对于长声学声子:（）此时 （）与 相比较可得 74热传导热传导（另外的讲法）（另外的讲法）如果在晶体中存在温度梯度如果在晶体中存在温度梯度则在晶体中将有能流流过，能流密度则在晶体中将有能流流过，能流密度Q

29、为：为：单位时间内通过单位面积的热能单位时间内通过单位面积的热能 如如不不考考虑虑电电子子对对热热传传导导的的贡贡献献（或或对对绝绝缘缘体体），晶晶体体中的热传导主要依靠声子来完成。中的热传导主要依靠声子来完成。为为晶晶体体的的热热导导系系数数（或或热热导导率率），表表征征晶晶体体传传输输热热能能的能力。的能力。可以把声子系统想象成可以把声子系统想象成“声子气体声子气体”。75 当当固固体体中中存存在在温温度度梯梯度度时时，“声声子子气气体体”的的密密度度分分布是不均匀的布是不均匀的 这这些些声声子子通通过过和和晶晶体体中中其其它它声声子子发发生生碰碰撞撞，最最终终使使得温度较低的区域具有同样

30、的得温度较低的区域具有同样的“声子声子”密度密度 因因而而“声声子子”在在无无规规则则运运动动的的基基础础上上产产生生定定向向运运动动，即即声声子子的的扩扩散散运运动动，相相应应的的热热量量从从晶晶体体较较高高温温度度区区域域传传到到温温度度较低区域较低区域 温温度度较较高高的的区区域域将将有有产产生生较较多多的的振振动动模模式式和和具具有有较较大的振动幅度，即有较多的声子被激发，大的振动幅度，即有较多的声子被激发，“声子声子”密度高密度高 与气体扩散相类比，可直接得到声子的热导率：与气体扩散相类比，可直接得到声子的热导率：76 对对于于德德拜拜模模型型，声声子子的的平平均均速速度度是是一一个

31、个常常数数，所所以以，热热导导率率与与温温度度的的关关系系完完全全取取决决于于热热容容量量和和平平均均自自由由程程与与温温度的关系。度的关系。声子受到碰撞和散射决定了它的平均自由程。声子受到碰撞和散射决定了它的平均自由程。Cv是是晶晶格格的的定定容容热热容容，是是声声子子的的平平均均速速度度，l是是声声子子的平均自由程。的平均自由程。77 声子的平均自由程决定于声子的碰撞，主要机制有：声子与声子的碰撞（这是最主要的机制）也就是格波与格波之间的散射，一般有两种情况：78 考虑了上述三种机制，则声子总的自由考虑了上述三种机制，则声子总的自由程由上述三种机制决定：程由上述三种机制决定：（碰撞几率）（

32、碰撞几率）声子与样品中杂质缺陷的碰撞声子与样品中杂质缺陷的碰撞 也就是说格波遇到晶体中杂质缺陷时的也就是说格波遇到晶体中杂质缺陷时的散射，此时一般力常数要发生变化，对于纯散射，此时一般力常数要发生变化，对于纯单晶体，这种机制是很少的。单晶体，这种机制是很少的。声子与样品边界的碰撞声子与样品边界的碰撞 即格波在样品边界处的散射，与样品的即格波在样品边界处的散射，与样品的几何尺寸有关。几何尺寸有关。79若温度 高，则声子浓度 大，据玻色分布，在高温情况下：频率为 的声子数增大，则 减小，所以高温下 （）在低温下：随温度 降低按指数规律急剧下降，则增大很快，当温度 下降到接近0K时，80 ，此时声子

33、的平均自由程由决定，倘若试样非常纯净，也很大，则声子的平均自由程就由样品的边界决定，这种情况称为尺寸效应，此时点阵的热导率 （为常数）814.倒逆过程倒逆过程82 对对于于热热导导率率，仅仅考考虑虑限限制制平平均均自自由由程程的的机机制制是是不不够够的的，还还必必须须建建立立声声子子热热平平衡衡分分布布的的某某种种机机制制。声声子子因因静静态态缺缺陷陷(static imperfection)或或晶晶体体边边界界的的碰碰撞撞本本身身不不能能建建立立热热平平衡衡，因为这种碰撞并不改变单个声子的能量：因为这种碰撞并不改变单个声子的能量：散射声子的频率散射声子的频率 2等于入射声子的频率等于入射声子

34、的频率 1。因此，对于热导率，值得注意的是因此，对于热导率，值得注意的是三声子碰撞过程三声子碰撞过程。声子在碰撞过程中遵从能量守恒定律和准动量守恒定律：声子在碰撞过程中遵从能量守恒定律和准动量守恒定律：+号号对对应应两两个个声声子子碰碰撞撞后后，成成为为一一个个新新声声子子；或或者者说说，一一个声子吸收了另一个声子，变成了一个能量高的声子。个声子吸收了另一个声子，变成了一个能量高的声子。-号对应一个声子劈裂成两个声子。号对应一个声子劈裂成两个声子。以上碰撞过程称为正常过程以上碰撞过程称为正常过程。声子碰撞的正常过程（声子碰撞的正常过程（N N过程）和倒逆过程（过程）和倒逆过程（U U过程）过程

35、）83 因为这种碰撞不会改变声子气的总动量：因为这种碰撞不会改变声子气的总动量：对对于于以以上上声声子子碰碰撞撞过过程程，声声子子总总动动量量是是守守恒恒的的，因因为为在在碰碰撞撞中中J的的改改变变等等于于q3-q2-q1=0。上上式式中中，nq是是具具有有波波矢矢q的的声声子数。子数。对对于于热热阻阻率率而而言言，起起重重要要作作用用的的三三声声子子过过程程不不是是给给出出q守恒的守恒的q1+q2=q3这样的形式，而是下面的形式：这样的形式，而是下面的形式：其其中中G是是一一个个倒倒格格矢矢。这这种种由由派派尔尔斯斯(Peierls)发发现现的的过过程程被被称称为倒逆过程（为倒逆过程（U过程

36、）。过程）。很明显，正常过程也不能建立热平衡很明显，正常过程也不能建立热平衡84当当q1和和q2数数值值较较大大，其其夹夹角角又又较较小小时时，q1+q2可可能能会会超超出出第第一一布布里里渊渊区区，则则如如前前所所述述，所所有有具有物理意义的声子波具有物理意义的声子波倒逆过程是造成热阻和影响声子平均自由程的极重要原因倒逆过程是造成热阻和影响声子平均自由程的极重要原因矢矢q都在第一布里渊区里，因此在碰撞过程中产生的任何超都在第一布里渊区里，因此在碰撞过程中产生的任何超出第一布里渊区的波矢都必须通过一个倒格矢，使其折回出第一布里渊区的波矢都必须通过一个倒格矢，使其折回第一布里渊区，即第一布里渊区

37、，即q3=q1+q2-G。G显然，显然，q3与与q1和和q2方向相反，因此，方向相反，因此，G0的声子碰撞过程称为的声子碰撞过程称为倒逆过程。倒逆过程由于造成了声子准动量和热流反向，是倒逆过程。倒逆过程由于造成了声子准动量和热流反向，是造成热阻的一个重要机制。造成热阻的一个重要机制。85由于平均自由程与碰撞概率成反比，因而也和平均声子数由于平均自由程与碰撞概率成反比，因而也和平均声子数成反比，所以有成反比，所以有对于每一振动模式（或格波）的平均声子浓度为：对于每一振动模式（或格波）的平均声子浓度为：即热导率随温度升高而下降。即热导率随温度升高而下降。高温时高温时又因高温时热容又因高温时热容Cv

38、是一与温度无关的常数，因此有是一与温度无关的常数，因此有86所以有所以有右端唯一依赖于温度的是热容右端唯一依赖于温度的是热容Cv,它在甚低温下按它在甚低温下按T3律变化。律变化。因此，可以预期在甚低温下热导率也将按照因此，可以预期在甚低温下热导率也将按照T3律变化。因此，律变化。因此，热导率随温度升高的变化规律是：热导率随温度升高的变化规律是：低温时（低温时（T D)，能产生热阻的倒逆过程要求参与碰撞的声，能产生热阻的倒逆过程要求参与碰撞的声子波矢子波矢q1和和q2具有具有 量级，因此这些声子的能量应为量级，因此这些声子的能量应为 量级。这些声子的数目为量级。这些声子的数目为对于甚低温情况，被

39、激发的声子数已经很少，而且多是能对于甚低温情况，被激发的声子数已经很少，而且多是能量低的长声学波声子，产生倒逆过程的概率极小，平均自量低的长声学波声子，产生倒逆过程的概率极小，平均自由程由程 l 可大到与样品长度可大到与样品长度d 相比拟，因此有相比拟，因此有l=d。此时：。此时：87第五章 声子：热学性质 内容提要简正模式密度（声子能级密度）爱因斯坦模型和德拜模型点阵热容非简谐效应点阵热膨胀点阵热导率倒逆过程88应用德拜模型，计算一维、二维和三维情况下晶格振动的模式密度、德拜频率、德拜温度，平均晶格能、晶格比热及其高低温极限。模式密度：色散关系为，k空间的量子态数密度为从k到k+dk范围内的量子态数为：，n为维数。89Example 1.已知晶体的色散关系，求模式密度。已知晶体的色散关系，求模式密度。90习习 题题 习题:1补充题 1.(a)对一维单原子晶体分别用德拜模式密度和格波精确的模式密度计算热容，证明热容的表达式分别为：(b)指出在低温极限下，以上二热容给出相同的结果，且与温度T成正比。91 2.已知三维晶体在K0附近一个光学支的色散关系为下式，试求模式密度。